The Fundamental Theorem of PokerTeorema fundamentală a pokerului

There is a Fundamental Theorem of Algebra and a Fundamental Theorem of Calculus. So it’s about time to introduce the Fundamental Theorem of Poker.

Poker, like all card games, is a game of incomplete information, which distinguishes it from board games like chess, backgammon, and checkers, where you can always see what your opponent is doing. If everybody’s cards were showing at all times, there would always be a precise, mathematically correct play for each player. Any player who deviated from his correct play would be reducing his mathematical expectation and increasing the expectation of his opponents.

Of course, if all cards were exposed at all times, there wouldn’t be a game of poker. The art of poker is filling the gaps in the incomplete information provided by your opponent’s betting and the exposed cards in open-handed games, and at the same time preventing your opponents from discovering any more than what you want them to know about your hand.

That leads us to the Fundamental Theorem of Poker:

Every time you play a hand differently from the way you would have played it if you could see all your opponents’ cards, they gain; and every time you play your hand the same way you would have played it if you could see all their cards, they lose. Conversely, every time opponents play their hands differently from the way they would have if they could see all your cards, you gain; and every time they play their hands the same way they would have played if they could see all your cards, you lose.

The Fundamental Theorem applies universally when a hand has been reduced to a contest between you and a single opponent. It nearly always applies to multi-way pots as well, but there are rare exceptions, which we will discuss at the end of the chapter.

What does the Fundamental Theorem mean? Realize that if somehow your opponent knew your hand, there would be a correct play for him to make. If, for instance, in a draw poker game your opponent saw that you had a pal flush before the draw, his correct play would be to throw away a pair of aces when you bet. Calling would be a mistake, but it is a special kind of mistake We do not mean your opponent played the hand badly by calling with a pair of aces; we mean he played it differently from the way he would play it if he could see your cards.

This flush example is very obvious. In fact, the whole theorem is obvious, which is its beauty; yet its applications are often not so obvious. Sometimes the amount of money in the pot makes it correct to call, even if you could see that your opponent’s hand is better than yours. Let’s look at several examples of the Fundamental Theorem of Poker in action.

Examples of The Fundamental Theorem of Poker

Example 1

Suppose your hand is not as good as your opponent’s when you bet. Your opponent calls your bet, and you lose. But in fact you have not lost; you have gained! Why? Because obviously your opponent’s correct play, if he knew what you had, would be to raise. Therefore, you have gained when he doesn’t raise, and if he folds, you have gained a tremendous amount.

This example may also seem too obvious for serious discussion, but it is a general statement of some fairly sophisticated plays. Let’s say in no-limit hold ‘em you hold the

and your opponent holds an offsuit

The flop comes:

You check, your opponent bets, and you call. Now the ace of diamonds comes on fourth street, and you bet, trying to represent aces. If your opponent knew what you had, his correct play would be to raise you so much it would cost too much to draw to a flush or a straight on the last card, and you would have in fold. Therefore, if your opponent only calls, you have gained. You have gained not just because you are gelling a relatively cheap final card but because your opponent did not make the correct play. Obviously if your opponent folds, you have gained tremendously since he has thrown away the best hand.

Example 2

Suppose there is $80 in the pot, and you have two pair. You are playing draw poker, and you bet $10, which we will assume is all you can bet. Your single opponent has a four-flush – that is, four cards to a flush. The question is – are you rooting for him to call or fold? Naturally you want him to do what is most profitable for you. The Fundamental Theorem of Poker states that what is most profitable for you is for your opponent to make the incorrect play based on complete information about both hands. Since your opponent is getting 9-to-l odds (his $10 call might win him $90) and is only about a 5-to-1 underdog to make a flush, it is correct for him to call because a call has positive expectation. Since it is correct for him to call, following the Fundamental Theorem, you are therefore rooting for him to fold.

This sort of situation comes up frequently. You have the best hand, but your opponent is getting odds good enough to make it correct to call if he knew what you had. Therefore, you want your opponent to fold. By the same token, it is correct for you to chase when you are getting sufficient pot odds. If you don’t chase, you are costing yourself money and, therefore, making money for your opponent.

Example 3

Since it is correct for your opponent to call when he is getting sufficient pot odds, you can sometimes make an opponent fold incorrectly by showing more strength than you actually have on an early betting round. Suppose in seven-card stud you bet with;

An opponent calls with:

You are fairly sure he has kings. You now proceed to make a pair of 6s on board, and you bet. Your opponent will almost certainly fold a pair of kings since he is afraid you have made aces up.

Some people might say, „Well, wait a second. Why don’t I want my opponent to call as long as his pair of kings is worse than my two small pair?” The answer is that if there are cards to come and your opponent is getting proper odds, you do better to win the pot right there. A pair of kings versus two smaller pair needs very short odds to justify a call. Since your opponent would have been correct to call, you gain when you make him fold.

Example 4

In razz, a seven-card stud lowball game in which the lowest hand wins, we can see another example of showing more strength than you have to make an opponent fold incorrectly. Let’s say your opponent has

showing, and you have something like

If you think your opponent has a four-card 8 – and you have a pair and only a four-card 8-7 – it is important to bet, even though you know you will be called. The bet gains you some extra equity, should you happen to catch a little card on sixth street, giving you an 8-7 low. If your opponent catches a big card or a pair, still having a draw to a better 8 than yours, he will fold, since your previous bet indicated you had an 8 made already. The little card you’ve now caught suggests you have made a 7 low, which makes your opponent think he is drawing dead – that is, drawing with no chance of winning.

Notice that once again you want your opponent to fold even though you have the best hand. You have an 8,7 low and are drawing to a 7, while all your opponent has is a draw to a better 8. However, you gain by his folding because, had he known you had only an 8,7, he would be getting proper odds to call in the hope of drawing out on you. By not calling he made a mistake, and you have gained. (You gain even more when that sixth street card makes you two pair, and your opponent folds the best hand.)

Example 5

Just as you are rooting for an opponent to fold when he is getting sufficient pot odds, you are rooting for him to call when he is getting insufficient pot odds. Thus, it is frequently correct to play a strong hand weakly on an early round – the converse of your plays in the previous two examples – so that your opponent will make a bad call when you do improve. Look at the following two hands from seven-card razz:

You

Opponent

A good play against some people with this hand would be to check and just call if your opponent bets. Many players would now put you on a pair or a bad card in the hole. If you do catch a 4, 5 or 7 on board, giving you a 6 or 7 low, your opponent will probably still call, even if he is drawing dead, because your earlier play along with his pot odds make him think it’s worth a call. This is exactly what you are hoping for. Your deceptive play early has caused your opponent to make an incorrect play on a later round.

Example 6

Any time an opponent is not getting close to proper odds against you, you are rooting for him to call, even if by calling he has a chance of drawing out on you. If in the flush example at the beginning of this chapter, the pot were $20 instead of $80, you would be rooting for your opponent with the four-flush to call your $10 bet because he is a 5-to-l underdog getting only 3-to-l for his money. If he calls and makes a flush, those are the breaks. Nevertheless, his play is incorrect because it has negative expectation, and you gain any time he makes it.

When you have a hand that is rooting for a call, you should not try to make your opponent fold by betting an exorbitant amount in a no-limit or pot-limit game. Such a situation came up one day when I was playing no-limit hold ‘em. There was one card to come, and I had a straight which, at that point, was the nuts – that is, the best possible hand. I bet something like $50, the player to my left called, and the player behind him called the $50 and raised the rest of his money, which was about $200.

Since I had the best possible hand, the question was, should I raise or just call? There was something like $500 in the pot. Because the third man was all-in, I only had to think about the man behind me. I knew if I reraised, say, $400, making it $600 to him, he definitely would fold; in fact, if I raised almost any amount he would fold. But if I just called the $200, he would probably call.

What did I want him to do? I was pretty sure he had two pair. If I called the $200, there would be about $700 in the pot, which would give him 7-to-2 odds to call $200 with his two pair. However, the odds against his making a full house with two pair were 10-to-l (there were 40 cards in the deck that didn’t help him and 4 that did). Therefore, if he knew I had a straight, it would be incorrect for him to take 7-to-2 odds on a 10-to-1 shot. So I just called the $200, and as I expected and wanted, he did too.

The sad conclusion to this story is that he made a full house and bet a very small amount, which I paid off. Many people argued I had been wrong to let him in rather than raise him out, but in fact they are wrong. I had to give him a chance to make a mistake, which he did, because whenever my opponent makes a mistake, I gain in the long run.Există o teormă fundamentală de algebră şi o teoremă fundamentală a calcului. Aşa că este vremea să introducem Teorema fundamentală a Pokerului.

Pokerul, ca şi jocul de cărţi, este un joc cu informaţii sumare, ce se distinge de jocurile la masă precum şahul, backgammon, checkers, în care vezi tot timpul fiecare mişcare a adversarului. Dacă fiecare ar avea cărţile la vedere, ar exista o metodă exactă, matematică a fiecărui jucător. Fiecare jucător care decide să devieze de la jocul corect şi-ar reduce şansele şi ar creşte posibilitatea ca adversarul său să câştige.

Desigur, dacă toate cărţile ar fi la vedere tot timpul, nu ar mai exista jocul de poker. Arta pokerului este aceea de a umple golul de informaţii pe care îl preiei de la pariul adversarului tău, iar cărţile expuse împiedică adversarul să descopere mai mult decât ce ai vrea tu să cunoască despre mâna ta de joc.

Acest lucru ne conduce către Teorema fundamentală a Pokerului:

De fiecare dată când joci o mână diferit faţă de modalitatea în care ai juca dacă ai cunoaşte cărţile adversarului tău, el câştigă. De fiecare dată când joci mâna la fel ca în situaţia în care ai juca dacă ai cunoaşte cărţile adversarului tău, el pierde. Şi acelaşi lucru se aplică şi la jucătorii ceilalţi, la oponenţii tăi.

Teoria fundamentală este universal valabilă când o mână se reduce la competiţia dintre tine şi un singur adversar. De asemenea, se aplică în aproape toate situaţiile cu multi way pots, dar excepţiile sunt puţine şi or fi analizate la finalul acestui capitol.

Ce înseamnă Teoria Fundamentală? Să spunem că un adversar îţi cunoaşte cărţile. El ar putea juca corect în acest caz. Dacă, spre exemplu, într-un joc de draw poker adversarul tău vede că ai un pal flush înainte de draw, acţiunea corectă ar fi să pună pe masă o pereche de aşi la pariul tău. Call ar fi o greşeală, dar este o greşeală specială. Nu spunem că adversarul ar fi jucat o mână proastă prin call la o pereche de aşi, ci că a jucat diferit faţă de modul în care ar fi jucat dacă şi-ar fi văzut cartea.

Acest exemplu este concludent. De fapt, întreaga teoremă este concludentă, ceea ce o şi face extrem de interesantă, deşi aplicaţia sa nu este de multe ori concludentă. Uneori, suma de bani a potului determină în mod evident un cal, chiar dacă vezi că mâna adversarului este mai bună decât a ta. Mai jos putem vedea câteva exemple ale Teoremei Fundamentale.

Exemple ale Teoremei Fundamentale a Pokerului

Exemplul 1

Să presupunem că mâna ta nu este la fel de bună ca mâna adversarului când pariezi. Adversarul face call la pariul tău şi pierzi. Dar de fapt nu este o pierdere; este un câştig, întrucât adversarul tău a acţionat corect, dar dacă şi-ar fi ştiut cărţile, ar fi crescut miza. În concluzie ai fi câştigat dacă ar fi crescut miza, iar dacă cerea fold, ai fi câştigat o sumă impresionantă.

Acest exemplu poate părea prea concludent într-o discuție serioasă, dar este un exemplu al unui joc sofisticat. Să spunem că nu există limită la o mînă de:

Iar adversarul deține

Urmează flop

Faci check, adversarul pariază şi apoi tu faci call. Aşii de diamant vin pe fourth street, pariezi, în încercarea de a da aşii pe masă. Dacă adversarul ar fi ştiut cărţile tale, ar fi fost corect să mărească miza într-atât încât să te coste prea mult să faci draw la un flush pe ultima carte. De aceea, dacă adversarul tău doar face call, ai câştigat. Nu ai câştigat doar pentru că ai marşat pe o carte finală destul de slabă, ci pentru că adversarul tău nu a jucat corect. Dacă adversarul face fold, ai câştiga o sumă impresionantă, pentru că el aruncă practic cea mai bună mână.

Exemplul 2

Să presupunem că potul este de 80 de dolari, şi tu ai 2 perechi. Joci draw poker, pariezi 10 dolari, şi noi presupunem că este suma maximă pentru pariu. Unicul tău adversar are four flush. Întrebarea este – te aştepţi să facă fold sau call? Este normal să îţi doreşti ca el să facă ceea ce este cel mai profitabil pentru tine. Teorema Fundamentală a Pokerului spune că pentru tine cel mai bine este ca adversarul să acţioneze incorect pe baza unor informaţii complete despre ambele mâini. De vreme ce adversarul tău are şanse 9-1 (un call de 10 dolari poate să îi aducă 90 de dolari) şi şansele de flush sunt 5-1, este corect să facă call, pentru că asta ar fi o mişcare corectă. Pentru că pentru el este corect să facă call, potrivit Teoremei Fundamentale, tu vei dori să facă fold.

Acest gen de situaţie este des întâlnită. Ai cea mai bună mână, dar adversarul tău are şanse suficient de mari să acţioneze corect, să facă call, dacă ar fi ştiut ce cărţi ai. De aceea îţi doreşti ca el să facă fold. Dar şi pentru tine ar fi corect să faci chase, cînd ai suficiente şanse pentru fold. Dacă nu faci chase, cheltui prea mult şi îi dai posibilitatea adversarului să câştige aceşti bani.

Exemplul 3

De vreme ce este corect ca adversarul tău să facă call când are suficiente şanse la pot, uneori poţi să îl determini pe adversar să facă fold şi să arăţi mai multă determinare decât la o mână anterioară. Să presupunem că într-un joc de seven card stud pariezi cu:

Adversarul face call cu

Eşti aproape sigur că are popă. Te pregăteşti să faci o pereche de şesari şi pariezi. Adversarul în mod sigur va face fold pe o pereche de popi, pentru că se gândeşte că tu ai aşi.

Unii ar spune : “Stai o secundă. De ce mi-aş dori ca adversarul meu să facă call de vreme ce perechea lui de popi este mai slabă decât cărţile mele?”. Răspunsul este: dacă mai sunt cărţi de împărţit şi adversarul tău ajunge să aibă şanse, e cel mai bine să câştigi tu potul. O pereche de popi versus două perechi mici are nevoie de şanse minime pentru a justifica acel call. Dacă adversarul ar fi trebuit să facă call, ai fi câştigat dacă l-ai fi determinat să facă fold.

Exemplul 4

În razz, la un joc de seven card lowball în care cea mai slabă mână câştigă, putem vedea un alt exemplu de cum poţi determina adversarul să facă fold. Să spunem că adversarul are

și tu ai ceva de genul

Dacă tu crezi că adversarul are un four card-8, iar tu ai o pereche şi doar un four card 8-7, este important să pariezi, chiar dacă ştii că va urma un call. Pariul îţi dă posibilitatea să câştigi teren, dacă se întâmplă să îţi vină o carte mică pe sixth street, un 8-7 low. Dacă adversarul primeşte o carte mare sau o pereche, tot are un draw, mai bun decât un 8 al tău, va face fold, pentru că tu i-ai sugerat că deja ai făcut un 8. Cartea mică pe care ai primit-o tu acum sugerează că ai facut un 7 low, ceea ce îl face să se gândească la draw dead – draw fără nici o şansă de câştig.

Iată că, deşi ai cea mai bună mână, îl determini să facă fold. Tu ai un 7,8 low şi un draw la 7, iar adversarul tău are doar un draw. În orice caz, tu câştigi pentru că el a făcut fold. Dacă ar fi ştiut că tu ai doar 7,8 ar fi avut şanse mai mari să facă call, în speranţa unui draw out. Faptul că nu a făcut call l-a dus la pierdere, iar tu ai câştigat. Câştigi chiar şi mai mult atunci când cartea primită pe sixth stree îţi aduce două perechi, iar adversaul face fold cu cea mai bună mână…

Exemplul 5

Chiar când aştepţi ca adversarul să facă fold atunci când are suficiente şanse la pot, te aştepţi să facă call atunci când nu are suficiente şanse la pot. În orice caz, este de preferat să joci o mână puternică slab într-o rundă de început – discuţia din cele două exemple anterioare –  pentru a-l determina pe adversar să facă un call nepotrivit în timp ce tu îţi îmbunătăţeşti mâna. Să ne uităm la următoarele două mâini într-un joc de seven card razz

Tu

Adversar

Un joc bun împotriva unor jucători cu această mână ar fi să faci check şi doar să faci call dacă adversarul pariază. Cei mai mulţi ar pune o carte slabă cu faţa în jos. Dacă prinzi un 4,5 sau 7, adică 6 sau 7 low, adversarul tot va face call, chiar dacă are drawing dead, pentru că te-ai jucat cu şansele lui, iar el va crede că merită un call. Este exact ceea ce speri. Jocul tău înşelător l-a determinat să joace incorect în rundele următoare.

Exemplul 6

De fiecare dată când adversarul nu are şanse de câştig în faţa ta, te aştepţi să facă call. Dacă la începutul acestui capitol am vorbit despre o chintă la care potul era 20 dolari în loc de 80, ai dori ca adversarul tău cu four flush să facă call pe pariul tău de 10 dolari pentru că are şanse de 3-1 la 5-1. Dacă face call şi apoi flush, are baftă. Oricum, jocul său nu este corect pentru că aşteptările nu sunt foarte fericite, şi vei câştiga de fiecare dată cînd adversarul alege această mişcare.

Dacă ai o mână care cere call, nu trebuie să îl determini pe adversar să facă fold printr-un pariu exorbitant într-un  joc de no limit sau pot limit. Am întâlnit această situaţie într-un joc de No Limit Hold’em. Mai era o carte de primit, aveam un straight care la momentul acela era cea mai bună mână din joc, am pariat 50 de dolari, jucătorul din stânga mea a făcut fold, iar următorul a făcut şi el call, apoi raise pe restul banilor lui, în jur de 200 de dolari.

De vreme ce aveam cea mai bună mână posibilă, să fac raise sau call? Potul era undeva la 500 de dolari. Pentru că cel de-al treilea jucător era all in, trebuie să îl iau în considerare doar pe cel de după mine. Ştiam că dacă aş fi făcut raise să spunem pe 400 de dolari, cu siguranţă ar fi făcut fold. De fapt, dacă aş fi făcut raise pe orice sumă, adversarul ar fi ales fold. Dar dacă am facut call doar pe 200 de dolari, ar fi facut probabil call.

Ce îmi doream să facă? Eram aproape sigur că avea două perechi. Dacă făceam call pe cei 200 de dolari, potul ar fi ajuns la 700 de dolari, ceea ce i-ar fi dat şanse de 7-1. În orice caz, şansele ca el să facă full house cu cele două perechi ar fi fost de 10-1 (erau 40 de cărţi în pachet care nu l-au ajutat şi patru care i-au fost de mare folos). De aceea, dacă ştia că am straight, at fi fost incorect pentru el să parieze pe şanse de 7-2 la o lovitură de 10-1. Aşa că am facut call pe cei 200 de dolari, şi aşa cum mi-am dorit, şi adversarul a făcut acelaşi lucru.

Trista concluzie a poveştii este că adverasul a făcut full house şi a pariat o sumă mică, pe care am plătit-o. Mulţi au considerat că a fost o greşeală din partea mea, dar se înşeală. Trebuia să îi dau şansa de a face o greşeală, ceea ce s-a şi întâmplat, pentru că de fiecare dată când adverasul face o greşeală, eu câştig cursa.