Secretele jocurilor de sloturi pot fi dezvăluite: Generarea unei fişe PAR prin metode statistice

vineri, 14 iunie 2013

de Cătălin Bărboianu

De zeci de ani, jocurile de sloturi au rămas unele dintre cele mai populare jocuri de noroc, în ciuda unui element specific, care le-ar fi putut limita atractivitatea, anume lipsa de transparenţă: Jucătorii nu cunosc configuraţiile parametrice ale aparatelor la care joacă, această informație fiind rareori expusă. Jucătorii de cărti ştiu compoziţia pachetelor în timpul jocului, jucătorii de ruletă ştiu numerele de pe roată, jucătorii de loto ştiu numerele din care este extrasă linia câştigătoare, şi aşa mai departe. Sloturile rămân singurele jocuri în care jucătorii nu sunt informaţi asupra parametrilor esențiali ai acestora, cum ar fi numărul de stopuri ale rolelor, numărul de simboluri şi distribuţia lor pe role, fapt care face jocul de sloturi unic în acest sens.

În mod evident, lipsa de date privind configuraţia parametrică a unui aparat împiedică pe oricine să calculeze şansele de a câştiga şi alţi indicatori matematici, deoarece formulele probabilităţii au ca variabile acei parametri. Fişele PAR (Probability Accounting Report), care conţin acești parametri ai aparatelor şi probabilităţile asociate cu combinațiile câștigătoare, nu sunt expuse publicului şi pot fi obţinute numai cerându-le producătorilor jocului, de obicei prin intervenţie juridică (de exemplu, prin FIPPA, Freedom of Information and Protection of Privacy Act).

În ceea ce privește  posibilele motive ale producătorilor de jocuri de a ţine fişele PAR departe de public, există un motiv declarat exprimat de către producătorii care au refuzat cereri, în apelul lor la hotărârile judecătoreşti, anume faptul că fişele PAR conţin informaţii considerate a fi secrete comerciale în industria jocurilor de noroc şi constau în formule matematice şi ecuaţii elaborate de inginerii lor, precum şi că informaţiile pot leza semnificativ poziţia lor în competiţia economică. Există dezbateri asupra faptului dacă un astfel de motiv este justificat sau nu, iar oponenții susţin că acesta este în contradicţie cu generalitatea formulelor și ecuațiilor matematice – deşi detaliile parametrice variază de la joc la joc, rezultatele matematice referitoare la probabilitate, speranţa matematică şi alţi indicatori statistici sunt doar aplicaţii ale unor formule generale, care sunt accesibile oricui în matematică şi comune tuturor aparatelor de sloturi, astfel că nici un organism individual sau corporativ nu poate pretinde dreptul de proprietate asupra unor astfel de modele sau formule; oponenţii susţin, de asemenea, că motivul lezării poziţiei competitive este în contradicţie cu posibilitatea deschisă tuturor producătorilor de jocuri de sloturi de a configura, testa şi folosi orice design parametric pentru aparatele lor, iar producătorul poate manipula parametrii de joc, inclusiv schema câştigurilor, în mod nelimitat, pentru a obţine  indicatorii statistici doriți. Un alt motiv posibil este teama ipotetică de a pierde jucătorii care află care sunt şansele reale şi alți indicatori statistici ai jocurilor preferate, idee care este criticabilă prin aşteptările a priori ale jucătorilor cu privire la şansele scăzute şi foarte scăzute de câştig induse de experienţa secretului fişelor PAR, dar şi prin exemplul loteriei, unde jucătorii continuă să joace în ciuda faptului că au de-a face cu cele mai mici şanse de a câştiga dintre toate jocurile de noroc (lucru bine cunoscut), datorită efectului altor elemente de dependenţă, prezente în forme diferite şi la jocurile de sloturi.

Studii curente dezbat aspectele etice ale expunerii faptelor matematice din spatele jocurilor de noroc şi dacă expunerea trebuie limitată la configurația parametrică, rezultatele numerice de bază (precum probabilităţile evenimentelor câştigătoare de bază şi speranţa matematică), sau la rezultate matematice mai avansate şi interpretările acestora.

Matematica are rolul său în această problemă şi contribuţia sa principală nu este doar aceea de a fi un alt argument împotriva raţionalităţii secretizării fişelor PAR, ci una practică: matematica oferă jucătorilor şi profesioniştilor unele metode statistice de recuperare a acestor date lipsă. Având aceste date împreună cu formulele matematice, oricine poate genera fişa PAR a oricărui aparat de sloturi.

Configuraţia unei role se referă la distribuţia de simboluri pe stopurile acelei role. Notând cu t numărul de stopuri și cu p numărul de simboluri distincte  aflate pe rolă, iar cu  numărul de simboluri  de pe rolă (), atunci vectorul  se numeşte distribuția simbolurilor pe rolă. Fiecare rolă are propria sa distribuţie de simboluri. Putem presupune că avem acelaşi număr de simboluri distincte pe fiecare rolă (p) printr-o convenţie: dacă un simbol nu apare pe o rolă, putem considera distribuţia sa pe acea rolă ca fiind zero. Un blank este considerat ca fiind un simbol distinct în cadrul modelului matematic.

Aproximarea brută. Această metodă se bazează pe rezultatul bine-cunoscut din teoria probabilităților, numit teorema lui Bernoulli, care afirmă că, într-un şir de experimente independente efectuate în condiții identice, frecvenţa relativă de apariţie a unui eveniment este convergentă către probabilitatea acelui eveniment.

Aplicat la jocurile de sloturi, acest principiu spune că dacă N este numărul de rotiri ale unei role cu t stopuri, la care observăm ca rezultat un anumit simbol S, plasat pe c stopuri ale rolei, iar n(N) este numărul de apariţii ale S după cele N rotiri, atunci şirul  este convergent către probabilitatea de apariţie a lui S, şi anume P(S) = c/t.

Raportul n/N este frecvenţa relativă a apariţiei lui S. Rezultă că, pentru valori mari ale lui N, frecvenţa relativă a apariţiei lui S aproximează probabilitatea de apariție a lui S. Cu cât N este mai mare, cu atât această aproximare este mai exactă. Evident, numărul de rotiri N trebuie să fie suficient de mare pentru obţinerea unor aproximări bune ale rapoartelor , iar aceasta este principala problemă a acestei metode. Cum teoria nu ne furnizează instrumente de alegere a lui N pentru o marjă de eroare dată, tot ceea ce avem este principiul “cu cât N este mai mare, cu atât este mai bine.”

După cum se poate observa, această metodă de aproximare bazată pe observarea statistică este supusă erorilor provenite din idealizări şi ipoteze diverse, iar marjele de eroare nu sunt nici măcar cuantificabile. Observaţi că metoda descrisă ne oferă aproximări ale rapoartelor  (valori etichetate de obicei în fişele PAR prin “frecvenţa apariţiei/hit frequency”) şi nu ale parametrilor individuali ai configuraţiei ( şi t). Cu toate acestea, cunoașterea probabilităţilor de bază este suficientă pentru efectuarea oricărui calcul probabilistic pentru un joc de sloturi. O aproximare mai exactă a rapoartelor  şi chiar a numerelor  şi t  individual este totuşi posibilă prin observare statistică, folosind o metodă prin care putem rafina estimările brute obținute prin metoda descrisă anterior. O astfel de metodă este descrisă pe scurt în cele ce urmează.

Metoda de potrivire a numitorului. Notăm cu  numărul de apariţii ale simbolurilor  până la  respectiv, după N rotiri ale unei role. Există o corelaţie slabă între valorile înregistrate  pentru numere mari de rotiri N. În baza acestei corelaţii, putem rafina estimarea rapoartelor  obţinute prin metoda anterioară şi putem găsi, de asemenea, estimări pentru  și t, prin recunoaşterea unui pattern numeric peste unele secvenţe de fracţii obţinute printr-o selecţie criterială a raporturilor dintre valorile posibile pentru  și t.

Metoda de potrivire a numitorului se bazează pe analiza numerică a fracțiilor  și pe un algoritm în cinci pași, descris pe scurt în acest articol şi explicat pe larg în ultima mea carte, The Mathematics of Slots: Configurations, Combinations, Probabilities.

Scriem fiecare fracție  ca pe un lanţ de fracții egale, având numărători de la 1 în sus şi numitori nu neapărat întregi, pentru fiecare i de la 1 la p. Dintre aceste p lanţuri de fracţii egale, alegem pe cel cu lungimea minimă (fie m lungimea minimă). Apoi, peste cele p lanţuri de fracții egale, extragem m secvenţe de fracţii (câte o fracţie din fiecare lanţ de egalitate) având numitorii cei mai apropiați de numitorii lanţului minim de egalitate respectiv. Din cele m secvențe de fracţii obţinute, alegem o secvenţă de p fracţii prin aplicarea succesivă a următoarelor criterii de filtrare: numitori cât mai aproapiați ca valoare unul de altul, cel mai mare număr de instanţe ale aceluiaşi numitor, numitorul cu cele mai multe instanţe este număr întreg. La ultimul pas, ajustăm numitorii secvenţei finale de fracţii, printr-un algoritm de aproximare prin care se obţine un singur numitor pentru toate fracţiile, anume suma numărătorilor, după cum este şi relația dintre t şi numerele .

Această metodă ne oferă cel mai probabil număr t de stopuri şi cea mai probabilă distribuţie de simboluri  pe o rolă, într-un anumit câmp de probabilitate; marja de eroare a  acestei aproximări este cuantificabilă în termeni de probabilitate.

În ceea ce privește aplicarea practică a metodelor prin observare statistică, aceasta este în mod evident o sarcină dificilă, deoarece avem de urmărit şi înregistrat rotiri de ordinul miilor.

Orice informație dobândită despre t în afara metodelor de estimare statistice prezentate este utilă în ceea ce priveşte exactitatea aproximării, deoarece poate oferi un indiciu cu privire la cât de mare ar trebui să alegem N pentru a evita obținerea de rezultate irelevante (de exemplu, dacă t = 100, putem intui că alegerea  (inlocuiti si in textul in engleza “N = 1,000” cu “”) nu este suficient de mare pentru obținerea de rezultate relevante). Pe lângă metodele bazate pe observarea statistică, există și o metodă de estimare a lui t prin măsurători fizice, aplicabilă unor anumite tipuri de aparate de sloturi. Această metodă exploatează informaţiile furnizate de imaginea aparentă a rolei pe ecran. După cum ştim, doar o mică parte din rolă (fizică sau virtuală) este vizibilă pe ecran şi această parte poate fi văzută ca fiind formată din unul sau mai multe stopuri adiacente (de obicei de la 3 la 5). Deci putem vizualiza de la 1 până la 5 stopuri consecutive ale rolei simultan. Dacă imaginea acestei părți a rolei este tridimensională (lucru posibil atât pentru rolele fizice cât şi pentru cele virtuale), prin măsurarea unor parametri ai acestei imagini, putem deduce o estimare a numărului de stopuri ale acelei role (t). În mare, lungimea aparentă a stopurilor vizibile ne dă informaţii complete privind curbura rolei, care duce apoi la o estimare a numărului întreg de stopuri, deoarece numărul de stopuri pe lungimea circulară a rolei vizibile este proporţional cu numărul total de stopuri pe lungimea circulară a întregii role. Această metodă se poate aplica numai la acele role care prezintă cel puțin două stopuri consecutive în vizualizare tridimensională pe ecran. Metoda este inaplicabilă rolelor virtuale care prezintă mai multe stopuri consecutive în imagine plată. Ca și în cazul metodei anterioare de observare statistică, aplicarea practică a metodei prin măsurători fizice ridică probleme. Pot apărea probleme tehnice privind dobândirea poziţiei corecte pentru măsurare sau la plasarea instrumentului de măsurare pe suprafaţa aparatului. O alternativă pentru această metodă poate fi aceea în care observatorul face fotografii şi apoi efectuează măsurătorile pe fotografiile obţinute. Desigur, există posibilitatea ca operatorul aparatului să nu permită măsurarea directă şi/sau fotografierea aparatului.

Momentan se află în proiect crearea unei unităţi matematice care să folosească metoda potrivirii numitorului la înregistrări statistice, pentru aflarea configuraţiilor parametrice ale aparatelor de sloturi existente pentru care nu există expuse aceste date, şi care să genereze rezultatele probabilistice pentru acestea.

În ceea ce privește gamblingul problematic, studiile empirice efectuate au constatat că aflarea şanselor nu schimbă semnificativ comportamentul jucătorilor în sens de scădere, dar cu toate acestea o concluzie clară nu a fost încă trasă. Cu privire la jocul de sloturi în sine, şansele şi alte rezultate matematice contează ca informaţie într-un sens strategic trivial: E ca și cum cineva vă propune să pariați că puteți sări de la o anumită înălțime şi ateriza în picioare; desigur, este un avantaj să ştiţi în avans înălţimea de la care urmează să săriţi sau să o măsuraţi înainte de a accepta pariul, deoarece pentru o anumită măsurătoare puteți refuza pariul sau puteți propune un altul, iar acest lucru înseamnă decizie.

Biografie autor:

Cătălin Bărboianu (n. 1968) este un matematician de jocuri român, autorul a opt cărţi de matematica jocurilor de noroc, publicate în mai multe limbi şi enumerate în bibliografiile oficiale ale studenţilor de la multe institute de jocuri din întreaga lume. El menţine un site dedicat teoriei probabilităţilor şi aplicaţiilor acesteia în jocuri la http://probabilitate.infarom.ro/slots.html și militează pentru expunerea publică a faptelor matematice ale jocurilor de noroc.

Author: Editor

Share This Post On

1 Comment

  1. Catalin thank you for such an informative and useful article. I’m looking forward to reading some of your books. Thanks again!

    Post a Reply

Submit a Comment

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile obligatorii sunt marcate cu *