Martingale odds of failure in the long runProbabilităţile de eşec ale martingalului în jocul de cursă lungă

Anyone knows that odds for the same event to occur several consecutive times in a series of independent plays of a game are very low. This applies for any game of chance, including roulette.

For example, hitting the same color for n times in a row on a single-zero roulette has the probability . For n = 3, this is 11.51%, for n = 5 is 2.72%, while for n = 10 it goes down to 0.07%.

Basing on these low probabilities of repetition and some mathematical certainties, players built systems and strategies, among which the martingale is the most practiced.

Assuming n consecutive bets are lost and the n + 1 – th is won in a martingale, starting with the amount S as the stake of the first bet, algebra can easily show that the amount received is bigger than the previous cumulated loss, and the profit is S, no matter the value of n.

In my book Roulette Odds and Profits: The Mathematics of Complex Bets, I dedicated a chapter to the martingale, in its general form, where I presented this proof.

For a player who runs such system once, the following facts are unquestionable:

– For a sufficient number of consecutive plays, the player always has a positive profit (S);

– For hitting the favorable color and have that profit, the player must sustain the previous cumulated loss (which is ).

This cash sustaining is the first issue of the martingale and is a problem of personal money management, because the amounts are not low at all.

As example, for n = 9 (sustaining 9 consecutive failures) and S = $1 as the first stake, the total amount to loose before the winning bet is $511. For a $2 initial stake, the amount to loose becomes $1022. These are investments for a profit of only $1 or $2. Pretty low profit rate, isn’t it?

Still, this low profit rate is compensated by the low risk of failure. Only 0.07% is the probability of 10 consecutive color failures, which will ruin a player having only $511 as capital.

Relying on this low risk, players usually try to extend the use of the martingale over the long run, with the goal of cumulating small positive profits to make an acceptable overall gain.

The error they make stands in their false intuition about having the same risk over the long run as they had in the isolated use of the martingale. Although the color outcomes are independent, when we talk about sequences of consecutive outcomes in a pre-established number of spins, these sequences are not independent any more, so we cannot extend the probability result from an isolated sequence.

Actually, the probability of failure increases significantly over the long run.

Staying with the same example of 9 consecutive failures to sustain, let us evaluate some probabilities of having 10 consecutive failures (the same color for 10 times in a row) over a series of 1000, respectively 10000 spins.

The exact calculation for the probability of having the same color 10 times in a row at least once in 1000 spins is very laborious. We provide here an easier estimation, based on some particular sequences of outcomes. If we split the 1000 spins in 100 consecutive sequences of 10 outcomes (spins 1 – 10, 11 – 20, …, 91 – 100), we have that these sequences are independent and we have now a Bernoullian probability distribution, which easily allows us to calculate:

– The probability of having exactly one 10-outcome sequence of the same color (choose red, for example) among all 100 sequences is ;

– The probability of having exactly two 10-outcome sequences of reds among all 100 sequences is ;

The next probabilities will become lower, so we can state that the overall probability of having at least one sequence of 10 consecutive reds is higher than 7% (100 times bigger than the initial probability of the isolated case).

In fact, the exact probability of having at least one sequence of 10 reds over 1000 spins (among all 990 sequences, which are not independent) is much higher than 7%.

Making the same Bernoullian calculation for a run of 10000 spins, we get:

– The probability of having exactly one 10-outcome sequence of reds among all 1000  is ;

– The probability of having exactly two 10-outcome sequences of reds among all 1000 sequences is ;

– The probability of having exactly three 10-outcome sequences of reds among all 1000 sequences is  and the next probabilities become lower.

Adding them together, we find that the probability of having at least one sequence of 10 consecutive reds is higher than 51% (over 700 times bigger than the initial probability of 0.07%). In fact, the exact probability of having at least one sequence of 10 reds over 10000 spins (among all 9990) is much higher than that.

The conclusion is that the real risk of failure must count in any long-run martingale strategy, since it increases significantly from the isolated case. In addition, the low profit rate of the martingale makes any failure to be a potential ruin. Of course, the player might cumulate enough previous successes to sustain a martingale loss and go ahead, finishing the round with profit. In fact, these conclusions submit to the general consequences of the application of probability theory in gambling: any circumstantial winning is possible in any amount, but toward infinity the player will loose cumulatively in favor of the house. In other words, if we would be immortal regular gamblers, we shall be ruined for sure. Because we are not, there are still chances to get rich or make a living with that. This could be one of the advantages of not being immortal 😉 .

Catalin Barboianu maintains a website dedicated to the applications of probability theory, including in gambling, at http://probability.infarom.ro . 

Oricine intuieşte că şansele ca acelaşi eveniment să se producă de mai multe ori consecutiv într-o serie de jocuri independente sunt foarte mici. Acest lucru este valabil pentru orice joc de noroc, inclusiv ruleta.

Spre exemplu, obţinerea aceleiaşi culori de n ori consecutiv la o ruletă cu un singur zero are probabilitatea . Pentru n = 3, aceasta este 11.51%, pentru n = 5 este 2.72%, iar pentru n = 10 coboară la 0.07%.

Bazându-se pe aceste probabilităţi mici de repetiţie şi pe unele adevăruri matematice, jucătorii îşi construiesc sisteme şi strategii, între care martingalul este cel mai des practicat.

Presupunând că sunt pierdute n pariuri consecutive cu miza dublată la fiecare pariu care urmează, iar al n + 1 – lea pariu este câştigat, începând cu miza S pentru primul pariu, algebra poate demonstra cu uşurinţă că suma câştigată în final este mai mare decât pierderea anterioară cumulată, iar profitul este S, indiferent de valoarea lui n.

În cartea mea Ruleta – probabilităţi, profituri: Matematica pariurilor complexe am dedicat un capitol martingalului, in forma sa generală, unde am prezentat această demonstraţie.

Pentru un jucător care practică un astfel de sistem o dată, următoarele fapte sunt indubitabile:

– Pentru un număr suficient de jocuri consecutive, jucătorul va obţine întotdeauna un profit pozitiv (S);

– Pentru a nimeri culoarea favorabilă şi a obţine acest profit, jucătorul trebuie să susţină pierderea anterioară cumulată (care este ).

Această susţinere financiară este principala lacună a martingalului şi este o problemă de management financiar personal, deoarece sumele nu sunt nicidecum mici.

Spre exemplu, pentru n = 9 (susţinerea a 9 ratări consecutive) şi S = $1 drept prima miză, suma totală pierdută înaintea pariului câştigător este $511. Pentru o miză iniţială de $2, suma pierdută devine $1022. Acestea reprezintă investiţii pentru un profit de numai $1 sau $2. Este o rată a profitului destul de mică, nu-i aşa?

Totuşi, rata scăzută a profitului este compensată de riscul mic de eşec. Probabilitatea a 10 rateuri de culoare consecutive este numai 0.07%, care ar ruina un jucător care dispune de un capital de numai $511.

Bazându-se pe acest risc scăzut, jucătorii încearcă de obicei să extindă folosirea martingalului la jocul de cursă lungă, cu scopul acumulării de mici câştiguri, care să însumeze un profit general acceptabil.

Eroarea pe care o fac aceştia constă în intuiţia falsă care îi face să creadă că riscul în jocul de cursă lungă este acelaşi cu riscul utilizării izolate a martingalului. Deşi apariţiile culorilor sunt evenimente independente, atunci când vorbim de serii de apariţii consecutive într-un număr prestabilit de jocuri, aceste serii nu mai sunt independente, astfel că nu putem extinde rezultatul probabilistic al seriei izolate.

În fapt, probabilitatea de eşec creşte semnificativ la jocul de cursă lungă.

Rămânând la acelaşi exemplu de 9 ratări consecutive care trebuie susţinute, să evaluăm probabilităţile de a avea 10 ratări consecutive (aceeaşi culoare apărută de 10 ori consecutiv) într-o serie de 1000, respectiv 10000 de jocuri.

Calculul exact al probabilităţii ca aceeaşi culoare să apară de 10 ori consecutiv cel puţin o dată în 1000 de jocuri este foarte laborios. Ofer aici o estimaţie a probabilităţii, printr-un calcul aplicat unor serii particulare de apariţii. Dacă împărţim cele 1000 de jocuri în 100 serii consecutive a câte 10 jocuri (seriile 1 – 10, 11 – 20, …, 91 – 100), aceste serii sunt independente şi avem astfel o distribuţie probabilistică bernoulliană, care ne permite să calculăm cu uşurinţă:

– Probabilitatea de a avea exact o serie de 10 jocuri cu aceeaşi culoare apărută (să alegem roşu, de exemplu) între cele 100 de serii este ;

– Probabilitatea de a avea exact două serii de 10 jocuri cu rezultat roşu între cele 100 de serii este ;

Următoarele probabilităţi devin şi mai mici, aşa că putem spune că probabilitatea generală de a avea cel puţin o serie de 10 jocuri cu rezultatul roşu este mai mare de 7% (de 100 de ori mai mare decât probabilitatea iniţială a cazului izolat).

De fapt, probabilitatea exactă de a avea cel puţin o serie de 10 jocuri cu rezultat roşu în 1000 de jocuri (între toate cele 990 de serii, care nu sunt independente) este mult mai mare decât 7%.

Facând acelaşi calcul bernoullian pentru o cursă de 10000 de jocuri, obţinem:

– Probabilitatea de a avea exact o serie de 10 jocuri cu rezultat roşu între cele 1000 de serii este ;

– Probabilitatea de a avea exact două serii de 10 jocuri cu rezultat roşu între cele 1000 de serii este ;

– Probabilitatea de a avea exact trei serii de 10 jocuri cu rezultat roşu între cele 1000 de serii este  şi următoarele probabilităţi devin mai mici.

Însumându-le, găsim că probabilitatea de a avea cel puţin o serie de 10 jocuri consecutive cu rezultat roşu este peste 51% (de 700 ori mai mare decât probabilitatea iniţială de 0.07%). De fapt, probabilitatea exactă de a avea cel puţin o serie de 10 jocuri cu rezultat roşu în 10000 de jocuri (între 9990 de serii) este mult mai mare decât atât.

Concluzia este aceea că riscul real de eşec trebuie luat în calcul în orice strategie de martingal de cursă lungă, deoarece acesta creşte semnificativ faţă de cazul izolat. În plus, rata de profit mică a martingalului face ca orice eşec să fie o potenţială ruinare. Bineînţeles, jucătorul poate acumula suficiente succese anterioare pentru a susţine o pierdere la martingal şi a continua jocul, finalizând seria cu profit. De fapt, aceste concluzii se aliniază la consecinţele generale ale aplicării teoriei probabilităţilor în jocurile de noroc: orice câştig circumstanţial este posibil în orice cantitate, dar la infinit jucătorul va pierde cumulat în favoarea casei. Cu alte cuvinte, dacă am fi nişte jucători perseverenţi şi nemuritori, ne vom ruina cu siguranţă. Deoarece nu suntem, există şanse de a ne îmbogăţi sau de a trăi din jocurile de noroc. Acesta poate fi unul din avantajele de a nu fi nemuritor ;-).

Cătălin Bărboianu întreţine un site dedicat aplicaţiilor teoriei probabilităţii, inclusiv în jocurile de noroc, la http://probabilitate.infarom.ro .