Mathematical models of Slot GamesModele matematice ale sloturilor

I don’t know about you, but I do know how I order my food in an Indian restaurant. Rather than looking at the names of the starters and the main dishes, I select the type of food I want to eat (lamb or fish for example) and then I make my final selection based on the number of ´peppers´ behind the dish. The peppers typically indicate how spicy the food is. The titles of the dishes don´t mean that much to me (when I travel I usually am not capable of reading the names of the dishes in the first place). So I order based on selection of type of food and then I select how spicy I want to food to be.

Wouldn´t it be nice if we did the same thing with our slot menus? At the moment players can select the type of game they want to play; video games with stacked symbols or video games with free games, but they can´t select the peppers! We do not communicate with our players how spicy the games are.

Think about my Indian restaurant. If I order a dish I never had before, without the peppers I run the risk of burning my mouth or getting a dish which does not appeal to me because it is not spicy enough. Fair enough I can select a lamb dish (like a player can select a video game with stacked symbols), but there is no way of telling if the lamb dish is to my taste unless it tells me how spicy the dish is (like a player will not know how volatile a game is he never played before unless he spends quite a bit of time ´trying the game´)

It´s amazing really if you start to look for metaphors: bars do put the alcohol percentage on the various types of drinks, car makers do communicate how much gasoline a specific model car consumes, food products typically show the amount of calories per 100 grams; but slot manufacturers do not show the most important parameter for a player on the game. With all respect for the manufacturers, but for frequent slot machine players it is not the name of the game that attracts them, it is not the colors, nor is it the attract sound. All these elements will surely have a modest effect on the experience the player gets while playing, however it is the mathematical concept that is what keeps him on a machine (or makes him leave a machine).

I am increasingly cautious trying games I have never played before, because I burned my fingers too often. With the exception of WMS G-plus games, I never know what I get when I try a new machine. I find it amazing however to see WMS G-plus games mixed with WMS non G-plus games in the same bank of machines. I note that quite a few slot managers do not know that the mathematical concepts of G-plus and non G-plus are for different types of players. In my previous article I wrote about Time on Device Players and Gamblers. G-plus is for Gamblers, non G-plus more typically for Time on Device Players.

So, what do the peppers on the games have to communicate? What makes a game interesting for a Gambler and another type of game interesting for a Time on Device Player?

It is not the hit frequency; that I worked out a long time ago. Games with a very low hit frequency are not played by Time on Device Players, but also not by Gamblers. I hardly ever saw a Gambler play a ten line game with 10 credits on 1 line (which would be much more volatile than playing 10 lines with 1 credit per line). Players (Time on Device and Gamblers alike) play all the lines of a game. And they should; games are designed to be played on all lines. I do not understand why Slot Machines still have line buttons; that is so outdated! What we need is ‘forced bet’ (or ‘easy bet’ as some suppliers call it) on all machines. The minimum bet should no longer be the credit value, but all lines with one credit! If residual credits are the reason to keep the line buttons, better options are available.

The hit frequency has not really changed over the years. The majority of the games have a hit frequency somewhere between 33% and 20% (or between 1 out 3 to 1 out of 5 games).  Time on Device players would walk away from a machine with a lower hit frequency and Gamblers will only continue playing a game with a lower hit frequency if the mathematical model appeals to them.

Let me try to explain mathematical models for different types of players using an example with dice.

Using three dice with different colors, you can theoretically make 216 different combinations. On a slot machine we would call that the Game Cycle. Some of the combinations in the Game Cycle are Winning Combinations, some of them are Non-Winning Combinations. The percentage of Winning Combinations per Game Cycle is what we call the Hit Frequency.

Have a look at the pay-table below. I would call this a ´one pepper´ pay table

The hit frequency is 35,19%. This means that 35,19% of the possible combinations in the game cycle are winning combinations. Theoretically the player throwing the dice will have a winning combination roughly once per three games. The theoretical Player Return Percentage is 100%. If the player plays long enough, he will not win and he will not lose.

By changing the pay table (or the symbols on the reels of a video game), the game designer can make the game more spicy.

The pay table below I would call a ´four pepper´ pay table

Note that the hit frequency and the theoretical player return percentage are exactly the same as in the ´one pepper´ pay table. The difference is in the pay loading.

If a player plays any of the two games above long enough, he would not win and he would not lose. Yet there is a big difference in the mathematical concept.

If you had 100 RON in your pocket and each time you throw the dice you had to pay 5 RON, which of the two pay tables would you prefer? Gamblers would clearly prefer the ´four pepper pay table´, Time on Device players would prefer the ´one pepper pay table´.

Playing the one pepper pay-table you probably play for a very long time, you win a little, you loses a little; but chances are you can play very long before you run out of money (if at all; the pay table theoretically returns 100% to the player). This is what Time on Device Players like. The only downside of the ´one pepper pay table´ is that the player will never really win. He can play long, but it is very unlikely he will double his 100 RON. This explains the most heard complaint of Time on Device Players; “I never win”.

The Gambler, who plays the ´four pepper pay table´, has a chance to lose his 100 RON (and rather fast too). Although the game theoretically returns to the player 100%, if he is unlucky he will run out of money before he hits a combination that gets him ´out of trouble´. The flip-side is that if he gets lucky and throws three sixes, he can easily double his money (or more).

Let´s translate the logic from the dice game to a video slot game.

The pay table below I would call a ´one pepper´ pay table

The yellow part on the picture above shows the reel stops. Reel 1 has 60 stops, of which 1 is the euro symbol, 10 are the pound symbol, 10 are the yen symbol, 19 bars, 1scattered symbol and 19 blanks. Total number of stops on reel 1 is 60, stops on reel two are also 60 and stops on reel 3 are 59. The game cycle (total number of combinations that can made with these three reels equals 60 x 60 x 59 = 212.400)

The pay table shows the winning combinations. In total there are 72.831 winning combinations. This represents 34,29% of the total combinations per game cycle. Theoretically this game will give the player a winning combination roughly once per 3 games. The Theoretical Player Return Percentage is 93,44%.

What makes this game a ´one pepper game´ is the pay loading. Playing this game, players will have frequent small wins. 93,44% of the total player return is in the smallest wins on the pay table (the yellow boxes under pay loading). Even if the player does not win any of the ´bigger wins´ of the pay table, he can play for a long time with his money. This game is typical for Time on Device Players. They can play very long with a limited amount of money; however they will almost never win a very large amount.

The next pay table I would call a ´four pepper pay table´

When the player plays the pay table above and he wins the free games scatter, the pay table will change.  The Theoretical Payback Percentage of the game (including the free games) is 92,45%.

During the free games the symbols on the reels and the pay table will show following:

What makes the game above a ´four pepper game´ is that 31,12% of the total Theoretical Return to Player is paid through the free games. As long as the player does not win the free games, the game does not return to player 92,45%, but only 63,68%! Theoretically the player will win the free games once per 296 games (729 times per game cycle).  During the free games the player will have a large win, guaranteed!

On the four pepper pay table, the player gets into trouble (financially) as long as the free games don´t hit. He knows however, that he will be ´out of trouble´ if the free games hit; and that´s exactly why he hangs in there.

Games with the mathematical concept above are –amongst others- Book of Ra (Austrian Gaming) and Zeus (WMS). They both have theoretical hit cycles for free games of around 300 games and they both have around 30% of the total player return in the free games. Now who likes to play these games with a significant bet? I do (and I am a gambler)!

The next course of The Slot Academy is October 30 to November 5 in the Hilton Hotel in Warsaw, Poland. Information through www.theslotacademy.com . Discounts apply for readers of Casino Inside Magazine.Nu ştiu despre tine, dar eu ştiu cum îmi place să comand mâncare la restaurantul Indian. Decât să mă uit la titlurile felurilor de mâncare, prefer să aleg cam ce aş vrea să mănânc (carne de miel sau peşte, de exemplu) apoi decid în funcţie de conţinutul de ardei al fiecăruia. Ardeii îţi indică de obicei cam cât de iute este mâncarea. Numele mâncărurilor nu îmi spun prea multe (de obicei, când călătoresc nici măcar nu pot să citesc denumirile). Aşa că aleg în funcţie de ce doresc să mănânc şi de cât de iute este felul de mâncare respectiv.

N-ar fi frumos să putem face acelaşi lucru şi când studiem oferta aparatelor de jocuri?  În prezent, jucătorii îşi pot alege tipul de joc: jocuri video cu sigle suprapuse sau cele cu jocuri gratis, dar nu se pot vedea ardeii! Noi nu putem comunica cu clienţii noştri despre cât de  ”picante” sunt jocurile. Gândiţi-vă la restaurantul meu indian. Dacă aleg să comand un fel de mâncare necunoscut, fără să ştiu câţi ardei are probabil mi-ar fi luat gura foc sau poate că aş fi mâncat ceva care nu e pe placul meu, pentru că e insuficient condimentat. La fel de bine pot să aleg carnea de miel (aşa cum un jucător poate alege un joc video cu simboluri suprapuse), dar nu pot spune dacă mâncarea e pe placul meu, dacă nu ştiu cât de picantă e (aşa cum un jucător poate spune cât de bun e jocul respectiv doar după ce îl testează puţin timp). Este chiar impresionant dacă începi să cauţi şi alte asemănări: conţinutul în alcool pe sticlele de băutură din baruri, constructorii de maşini informează asupra consumului de combustibil, toate alimentele au inscripţionate pe ambalaj conţinutul în calorii la 100 de grame; dar producătorii de aparate de jocuri nu afişează cel mai important parametru al jocului. Tot respectul pentru producători, dar pe jucători nu-i atrage numele jocului, nici culorile, nici sunetul. Toate acestea au un efect mic asupra experienţei generale a jocului, spre deosebire de conceptul matematic din spate care îl face pe jucător să prefere acel joc (sau nu).

Sunt din ce în ce mai atent când încerc jocuri pe care nu le-am mai încercat până acum pentru că mi-au fost înşelate aşteptările de prea multe ori până acum. Cu excepţia jocurilor WMS G-plus, n-am ştiut niciodată la ce să mă aştept când am încercat un nou joc. Mi se pare uimitor cum jocurile WMS G-plus se pot găsi în aceeaşi serie de jocuri cu WMS G-non plus. Am observat că nu mulţi administratori de aparate de jocuri ştiu că acest concept matematic G-plus şi G-non plus se adresează unor categorii diferite de jucători. Într-un articol anterior am scris despre jucătorii Time on device players şi Gamblers. G-plus este pentru cei de tipul Gamblers, în timp ce G-non plus este mai potrivit pentru jucătorii Time on device players. Deci ce au «ardeii» de comunicat în cazul unui joc? Ce face un joc mai interesant pentru un jucător de tipul Gambler şi alt tip de joc pentru un jucător Time on device players? Nu este frecvenţa cu care apeşi ; de asta mi-am dat seama cu mai mult timp în urmă. Jocurile cu frecvenţă foarte mică nu sunt preferate de jucătorii Time on device players, dar nici de Gamblers. Foarte rar am văzut un Gambler jucând un joc cu 10 linii pe 10 credite pe o linie (ceea ce ar fi mult mai schimbător decât un joc cu 10 linii şi un credit pe linie). Jucătorii ( gamblers şi Time on device players) joacă toate liniile într-un joc. Şi e bine că fac asta;  jocurile sunt construite pentru ca toate liniile să fie jucate. Nu înţeleg de ce aparatele încă mai au buton pentru linii; este demodat! Ce ne trebuie este un « forced bet » la toate aparatele. Pariul minim n-ar trebui să depăşească valoarea unei linii, dar toate liniile să fie de un credit. Dacă resturile de credite sunt motivul menţinerii butoanelor pentru linii, atunci ar trebui adoptate alte opţiuni.

Frecvenţa nu s-a schimbat în ultimul timp. Majoritatea jocurilor au o frecvenţă undeva între 33 şi 20%  (sau 1 din 3 ori 1 din 5 jocuri). Jucătorii Time on device players s-ar ridica de la un aparat cu frecvenţă mică iar jucătorii gamblers ar continua să joace chiar şi cu frecvenţă mică dacă modelul matematic ar fi compatibil cu ei.

Să încerc să explic trei modele matematice diferite cu ajutorul zarului. Folosind trei zaruri de culori diferite, poţi face, teoretic vorbind, 216 combinaţii. La un aparat de joc, acest lucru se numeşte Ciclul de joc. Unele combinaţii sunt Combinaţii câştigatoare iar altele, necâştigătoare. Procentul combinaţiilor câştigatoare din totalul combinaţiilor reprezintă frecvenţa.

Frecvenţa este de 35, 19%. Asta înseamnă că 35,19 % din combinaţiile posibile sunt câştigatoare. Teoretic, jucătorul care aruncă zarul va avea o combinaţie câştigatoare o dată la trei jocuri în medie. Player return percentage este, teoretic vorbind, 100%. Dacă jucătorul va juca suficient de mult, el nu va câştiga dar nici nu va pierde.

Schimbând tabelul cu plăţile, producătorul jocului îl poate face mai “picant”. Aş numi tabelul de mai jos “patru ardei”.

Dacă jucătorul joacă unul din cele două variante de joc de mai sus, el nu va câştiga, dar nici nu va pierde. Totuşi există o mare diferenţă între conceptele matematice.

Dacă ai avea 100 Lei în buzunar şi de fiecare dată când arunci zarul trebuie să plăteşti 5 Lei, pe care din cele două variante de plată le-ai alege? Jucătorii gamblers ar alege tabelul cu patru “ardei”,  iar cei Time on device players pe cel cu un singur ”ardei”.

Alegând varianta cu un singur ”ardei”, ar trebui să joci foarte mult timp, câştigi puţin şi pierzi puţin; dar sunt şanse să joci foarte mult, până rămâi fără bani (teoretic, această strategie returnează 100% jucătorului). Acest lucru le place jucătorilor Time on device players. Singurul dezavantaj al acestei metode este că de fapt nu câştigi niciodată cu adevărat. Jucătorul poate juca mult, dar şansele ca el să-şi dubleze suma sunt foarte mici. Se explică, astfel, folosirea repetată de către jucătorii Time on device players a expresiei: “Eu nu câştig niciodată”.

Jucătorul alege mereu tabelul cu patru “ardei” şi are mari şanse să piardă (şi chiar rapid) cei 100 de Lei. Chiar dacă, teoretic, el poate primi înapoi cei 100 de Lei, dacă nu are noroc el poate rămâne fără bani înainte de a găsi o combinaţie care să-l salveze. Alternativa este că dacă are noroc şi aruncă trei şesari, îşi poate dubla suma (sau chiar mai bine).

Haideţi să traducem logica jocului de zarurui aplicată la un slot game. Tabelul de mai jos este ”un ardei” pay table .

Partea galbenă a imaginii ne arată unde mişcarea încetează. Reel 1 are 60 de opriri, din care una are simbolul euro, 10 cel al lirei sterline, 10 simbolizează yenul, 19 linii, un simbol suprapus şi 19 spaţii goale. Numărul total de opriri pe reel 1 este 60, pe reel 2 tot 60 iar pe reel 3, 59. Numărul total de combinaţii care pot fi obţinute din reel 1, 2 şi 3 este 60 x 60 x 59 = 212.400.

Tabelul cu plăţi arată combinaţiile câştigatoare, în număr de 72.831. Acesta reprezintă 34,29% din totalul combinaţiilor. Teoretic, acest joc oferă o combinaţie câştigatoare la 3 runde jucate. Procentajul de returnare este de 93,44%.

Ce încadrează acest joc în categoria un singur “ardei” este modul de plată. Jucând acest joc, jucătorii obţin câştiguri mici şi dese. 93,44% din totalul procentajului de returnare se află în cele mai mici câştiguri din tabelul cu plăţi. Chiar dacă jucătorul nu câştigă mult, el poate continua să joace cu suma respectivă. Acest joc este potrivit pentru jucătorii Time on device players. Ei pot juca mult  chiar şi deţinând o sumă de bani redusă; oricum, ei nu vor câştiga niciodată prea mult.

Ce încadrează jocul de deasupra în categoria celor cu ”patru ardei” este că procentul de returnare de 31,12% este plătit prin intermediul jocurilor gratis. Atâta timp cât jucătorul nu câştigă jocuri gratis, jocul nu-i returnează jucătorului 92,45% ci doar 63,68%! Teoretic, jucătorul poate câştiga jocurile gratis o dată la 296 de jocuri (de 729 de ori într-un ciclu complet). În timpul jocurilor gratis, jucătorul are asigurat un câştig uriaş.

Pe tabelul de plăţi al jocului cu ”patru ardei”, jucătorul are probleme (financiare) cât timp nu apar jocurile gratis; totuşi, el ştie sigur că va scăpa de probleme când vor apărea jocurile gratis; şi exact asta aşteaptă. Jocurile cu conceptele matematice descrise mai sus sunt -printre altele – Book of Ra şi Zeus (WMA). Amândouă au cicluri de joc teoretice pentru jocuri gratis de circa 300 de jocuri şi amândouă au un procent de returnare în jur de 30%. Acum, cine vrea să le încerce cu o suma considerabil mai mare? Eu da! ( şi sunt gambler)

Următorul curs la Slot Academy se va ţine la hotelul Hilton din Varşovia între 30 octombrie şi 5 noiembrie. Informaţii suplimentare pe www.theslotacademy.com. Beneficiază de reduceri cititorii revistei Casino Inside.