The Effective Evaluation of Texas Hold’em Hands: The Power Matrix of HandEvaluarea corectă a mâinilor de Hold’em: Matricea de putere a unei mâini

miercuri, 8 februarie 2012

by Catalin Barboianu

One of the most important strategic elements of Texas Hold’em is the evaluation of hand. The result of this evaluation is called the power of hand., and every hand is played differently, according to this power. Players talk about the power of hand in various ways, but the statistical ones are the most common. In this view, a hand is seen as powerful according to how many times it proved to be a winning hand in the past and when or where this hand was revealed. Using statistical terms, a hand is attributed the quality of being weak or powerful in various grades, taking into account the relative frequency and not the probability, which is something else. In this process they are helped by all kinds of calculator programmes called “poker odds calculators”. Frequently, there are applied simplistic favorable card-counting rules for the outs in order to evaluate the hand by means of several probabilities- such as the Two Times Rule or Four Times Rule.

The power of a hand, even if  cuantified at an intermediate moment of the game, is directly related to the final moment of the game, which is in the future. This connection to the future appears because we define the power of a hand as indicative of how good this hand is now for succeeding in winning at the end of the game. So, we can objectively refer to the power of a hand only in terms of mathematical probability, the only scientific tool we have at hand for measuring the possibility of a future event happening, as long as the concept of power of a hand involves measurement and prediction.

We must make a clear distinction between probability and statistic.While the former represents the most objective way of expressing the power of a hand (according to the reasoning above), the latter represents what most of the odds calculators gives back as indicative of power. Read my article, Probability Return: Partial Simulations vs. Compact Formulas, for a detailed comparison from a mathematical and practical point of view between the returned results of the partial simulations and those of the probable compact formulas regarding the probabilities of the Texas Hold’em.

Both methods of evaluation mentioned above (statistical calculators and probabilistic calculation based on the count the outs) assume that the hand is the cards configuration of the table (owned cards and common cards). However, if we want to reach a more precise value of power, we must take into account an additional parameter: the number of opponents at the time of the analysis. So, we have to define the hand as the cards configuration of the table together with the number of opponents.

For this, mathematics gives the most suitable object that can illustrate the power of a hand as a probability matrix, as following:

We’ll use the abbreviations: 1p – one pair; 2p – two pairs; 3k – three of a kind; st – quint; fl – colour; fh – full; 4k – square. For any type of formation F, we’ll use p F for the probability that the hand itself receives F until de end, and q F for the probability that an least an opponent has a more valuable formation than F, if you’ll have an F (q F are what we call conditional probabilities). For each hand, we call the power matrix of that hand.

Each column corresponds to a type of formation (1p, 1p, 2k, s, fl, fh, 14k). Each hand is associated with a unique power matrix whose elements can be manually calculated or with an software program. Each column of the matrix is called the power vector of that hand regarding that type of formation.

Supposing we have the power matrix of a hand that we want to analyse, how will we, in fact, explain it? One blunt rule would be: the bigger the p probabilities and the smaller the q probabilities are, the stronger the hand is. But, if we take into consideration only the p line, it’s better for the p probabilities to be higher in the last part of the line rather than in the first one, because the second part corresponds to the most valuable aquisitions. In fact, a bigger value of a p probability of a single formation type (s, fl, fh, 4k) may be enough to consider the hand powerful enough for an aggressive raise, for example. High values of the p probabilities in the first part (for 1p, 2p, 3k) are not a positive element for the power of hand because we will implicitly have smaller values in the second part, which means that the most valuable formation are less probable to be obtained. This happens because the sum of the p probabilities has an upper limit. The power matrix cannot be interpreted by the p line alone. Q probabilities are also important because they can raise or moderate the trust of a player in the proper p probabilities regarding the result of the decision taken on their grounds.

For example, if the power vector of a formation type is (0.55, 0.73), the player might not be able to count on the right p probability, of over 50%, as long as the opponents can beat him with a q probability of 73% which is relatively high. At the same time, if a power vector is (0.17, 0.08), though 17% doesn’t represent a high chance to obtain that specific formation type, the player may consider it deserves the risks because the opponents have only an 8% chance to beat him.

Of course, for a complete analysis,the entire matrix (all the power vectors) need to be evaluated and interpreted. This is because when a power vector indicates unfavourable probabilities, the player can look for alternatives among the other types of formations an these separate powers have a cumulated effect in the evaluation of the hand. This is the main advantage of this evaluation method compared to the others.

There’s a way of combining the data in a power matrix so that the power can be interpreted by a single value instead of 14 values. Since every type of formation weighs differently regarding the power of hand expressed by means of probabilities (power unit of two pairs must count less than the power unit of a quint, for example; in other words, 1% chances of getting two pairs must weigh less that 1% chance of getting a quint), this indicator representing the weighted average of the p F (1 – q F) products.

In my book, Texas Hold’em Poker Odds for Your Strategy with probability based hand analyses, I have dedicated an entire chapter to power matrix calculation and interpretation, followed by probabilistic analysis of specific Hold’em hands.

Lately, the role of the mathematics in perfectioning poker abilities was often open to debate. in my opinion, there’s no such role, meaning that the player doesn’t need to study mathematics to see how the poker game can be influenced and how the probabilities in a probability based strategy can be taken into account. This is the mathematician’s duty – to apply the theory and to get practical results for players. However, if we want to use mathematics in poker strategies, we must maintain its exact character and this means that the players should find out about the mathematical aspects of the game components.

About the author

Catalin Barboianu is a mathematician, author of six books of gambling mathematics published in several languages and which are listed in the oficial bibliographies of the students in different game institues all over the globe. Among these titleswe mention Texas Hold’em Poker Odds for Your Strategy with probability based hand analyses (2011, the first book on poker mathematics translated into Romanian), Probabilities Guide and gambling mathematics: Craps, Slots, Roulette, Baccara, Blackjack, Poker, Lotto Sports Betting (2006) and What are the chances and how are they calculated – Introduction to the theory of probabilities and calculation guide for beginners with gambling and everyday life applications (2006). He is also chief editor of the site, an online guide of probabilities theory for the general public.

Copyright © Infarom 2012de Catalin Barboianu

Unul dintre cele mai importante elemente ale unei strategii de Texas Hold’em este evaluarea mâinii. Rezultatul acestei evaluări este ceea ce se numeşte puterea mâinii, iar fiecare mână este jucată diferit, în funcţie de această putere. Jucătorii se referă la puterea unei mâini în diverse moduri, dintre care cel mai des folosite sunt cele statistice. În viziunea acestora, o mână este puternică în măsura a cât de des a câştigat în trecut, unde şi când această mână a avut loc. În termeni statistici, aceştia atribuie unei mâini calitatea de a fi slabă sau puternică în diverse grade, luând în calcul frecvenţa relativă în locul probabilităţii, care este ceva diferit. În acest proces de atribuire, ei sunt ajutaţi de tot felul de programe de calculator numite “calculatoare de şanse la poker” (poker odds calculators). Se aplică de asemenea frecvent reguli simpliste de numărare a cărţilor favorabile rămase în joc (outs) pentru evaluarea mâinii prin anumite probabilităţi – precum regula de două ori (Two Times Rule) sau de patru ori (Four Times Rule).

Puterea unei mâini, chiar dacă este cuantificată la un moment intermediar al jocului, este direct legată de momentul final al jocului, care este în viitor. Această legătură cu viitorul apare deoarece definim puterea unei mâini drept un indicator care ne arată cât de bună este acea mână acum pentru a reuşi să câştige la final. Astfel, nu ne putem referi în mod obiectiv la puterea unei mâini decât în termeni de probabilitate matematică, singurul instrument ştiinţific pe care îl avem la îndemână pentru măsurarea posibilităţii de producere a unui eveniment viitor, atâta timp cât conceptul de putere a unei mâini implică măsurabilitate şi predicţie.

Trebuie să facem o distincţie clară între termenii probabilitate şi statistică. În timp ce primul reprezintă modul cel mai obiectiv de a exprima puterea unei mâini (conform argumentaţiei de mai sus), ultimul reprezintă ceea ce majoritatea calculatoarelor de „şanse” returnează drept indicator al puterii. Vedeţi articolul meu Returnarea probabilităţilor: simulări parţiale versus formule compacte pentru o comparaţie detaliată, din punct de vedere matematic şi practic, între rezultatele returnate de simulările parţiale şi cele ale formulelor probabilistice compacte, în ceea ce priveşte probabilităţile jocului de Hold’em.

Ambele metode de evaluare a puterii unei mâini menţionate mai sus (calculatoarele de statistici şi calculul probabilistic bazat pe numărarea cărţilor favorabile rămase în joc) presupun mâna ca fiind configuraţia de cărţi a mesei (cărţile proprii şi cărţile comune). Însă, dacă vrem să obţinem o evaluare mai precisă a puterii, trebuie să luăm în considerare un parametru suplimentar: numărul adversarilor la momentul analizei. Astfel, va trebui să definim mâna drept configuraţia de cărţi a mesei, împreună cu numărul adversarilor.

Pentru acest model, matematica ne oferă cel mai adecvat obiect care poate ilustra puterea unei mâini ca fiind o matrice de probabilităţi, după cum urmează:

Abreviem tipurile de formaţii prin 1p – o pereche,  2p – două perechi, 3k – trei-de-acelaşi-fel, st – chintă, fl – culoare, fh – full, 4k – careu. Pentru orice tip de formaţie F , notăm cu  probabilitatea ca mâna proprie sa obţină F până la final, iar cu  probabilitatea ca cel puţin un adversar sa obţină o formaţie mai valoroasă decât F, dacă veţi obţine F ( sunt ceea ce numim probabilităţi condiţionate).  Pentru fiecare mână, numim matricea   matricea de putere a acelei mâini.

Fiecare coloană corespunde unui tip de formaţie (1p, 2p, 3k, s, fl, fh, 4k). Fiecare mână are asociată o unică matrice de putere, ale cărei elemente sunt calculabile manual sau cu ajutorul unui program software. Fiecare coloană a matricei se numeşte vectorul de putere a acelei mâini privitor la tipul respectiv de formaţie.

Presupunând că avem matricea de putere a unei mâini pe care vrem să o analizăm, cum o vom interpreta de fapt? O regulă grosieră ar fi: Cu cât probabilităţile p sunt mai mari şi probabilităţile q mai mici, cu atât mâna este mai puternică. Însă, dacă vom considera numai linia p, este mai bine ca probabilităţile p să fie mai mari în ultima parte a liniei decât în prima parte, deoarece partea a doua corespunde celor mai valoroase achiziţii. De fapt, o valoare mare a unei probabilităţi p a unui singur tip de formaţie din partea a doua (s, fl, fh, 4k) poate fi suficientă pentru a considera mâna respectivă destul de puternică pentru o plusare agresivă, de exemplu. Existenţa unor valori mai ale probabilităţilor p în prima parte (pentru 1p, 2p, 3k) nu este un element pozitiv pentru puterea mâinii, deoarece implicit vom avea valori mai mici în partea a doua, ceea ce înseamnă că formaţiile cele mai valoroase sunt puţin probabil a fi obţinute. Acest lucru se întâmplă deoarece suma probabilităţilor p are o limită superioară. Matricea de putere nu poate fi interpretată numai după linia p. Probabilităţile q sunt de asemenea importante, deoarece pot spori sau tempera încrederea unui jucător în probabilităţile corespunzătoare p privitor la rezultatul deciziei luate în baza acestora.
Spre exemplu, dacă vectorul de putere a unui tip de formaţie este (0.55, 0.73), jucătorul s-ar putea să nu se bazeze pe probabilitatea p bună, de peste 50%, atâta timp cât adversarii îl pot învinge cu o probabilitate q de 73%, care este relativ mare. Reciproc, dacă un vector de putere este (0.17, 0.08), deşi 17% nu reprezintă şanse mari pentru obţinerea acelui tip de formaţie, jucătorul poate considera că merită a risca, deoarece adversarii au şanse de numai 8% de a-l învinge.
Bineînţeles, pentru o analiză completă, trebuie evaluată şi interpretată întreaga matrice (toţi vectorii de putere). Aceasta deoarece, atunci când un vector de putere indică probabilităţi nefavorabile, jucătorul poate căuta alternative între celelalte tipuri de formaţii, iar aceste puteri separate au un efect cumulat în evaluarea puterii acelei mâini. Acesta este principalul avantaj al acestei metode de evaluare faţă de celelalte.

Există un mod de a agrega datele dintr-o matrice de putere astfel încât puterea să fie interpretată printr-o singură valoare şi nu prin 14 valori. Cum fiecare tip de formaţie cântăreşte diferit în ceea ce numim putere a mâinii exprimată prin probabilitate (unitatea de putere a două perechi trebuie să conteze mai puţin decât unitatea de putere a unei chinte, spre exemplu; altfel spus, 1% şanse de a obţine două perechi trebuie să cântărească mai puţin decât 1% şanse de a obţine o chintă), acest indicator este o medie ponderată a produselor .

În cartea mea Probabilităţile pentru strategia jocului de Texas Hold’em Poker, cu analize probabilistice ale mâinilor am dedicat un capitol consistent calculului şi interpretării matricelor de putere, urmat de analize probabilistice ale unor mâini concrete de Hold’em.

S-a vorbit foarte mult în ultima perioadă despre rolul matematicii în perfecţionarea abilităţilor de poker. În opinia mea, nu există niciun rol, în sensul că jucătorul nu are nevoie să studieze matematica pentru a vedea cum poate fi modelat matematic jocul de poker şi cum pot fi luate în calcul probabilităţile într-o strategie bazată pe probabilitate. Aceasta este sarcina matematicianului – să aplice teoria şi să obţină rezultate practice pentru jucători. Totuşi, dacă vrem să utilizăm matematica în strategiile de poker, trebuie să-i prezervăm caracterul riguros, iar aceasta înseamnă ca jucătorii cel puţin să se informeze asupra aspectelor matematice ale comportamentelor lor de joc.

Despre autor

Catalin Barboianu este matematician, autor a şase cărţi de matematica jocurilor de noroc, publicate în mai multe limbi, care sunt listate în bibliografiile oficiale ale studenţilor multor institute de jocuri pe tot globul. Printre aceste titluri, Probabilităţile pentru strategia jocului de Texas Hold’em Poker, cu analize probabilistice ale mâinilor (2011, prima carte de matematica pokerului tradusă în lb. română), Ghidul probabilităţilor şi matematica jocurilor de noroc: Zaruri, Sloturi, Ruletă, Baccara, Blackjack, Poker, Loto şi Pariuri sportive (2006) şi Ce sunt şi cum se calculează şansele – Introducere în teoria probabilităţilor şi ghid de calcul pentru începători, cu aplicaţii în jocurile de noroc şi viaţa de zi cu zi (2006). El este de asemenea redactor-şef al site-ului , un ghid online de teoria probabilităţilor pentru publicul larg.

Copyright © Infarom 2012

Author: Editor

Share This Post On

Submit a Comment

Adresa ta de email nu va fi publicată.